つまり,$n$ 番目の素数を $p_n$ と書くと, 3.サイダックによる証明(最近発見された), 方針:背理法で証明します。素数たちから,より大きい素数を構成することで矛盾を導きます。, 素数が有限個しかないと仮定する。その有限個の素数全体を $p_1,p_2,\cdots,p_n$ とおく。 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ が素数ならば $p=p_1p_2\cdots p_n+1$ も素数である. という主張をしているわけではありません。実際,この主張は正しくありません。「素数が有限個しかない」という(偽である)仮定のもとで導かれる主張です。, 方針:同様に背理法で証明します。任意の自然数が素数の積として一意に表せるという事実を用います(素因数分解の一意性)。「有限=無限」という等式を作って矛盾を示します。, 素数が有限個しかないと仮定する。その有限個の素数全体を $p_1,p_2,\cdots,p_n$ とおく。 © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. 一方,この等式の左辺は無限等比級数の公式から計算できる: この有名な性質の3通り証明を紹介します。素数が無限にあることの証明方法はいろいろ発見されていますが,その中でも簡潔で美しい証明方法を集めました。, 1.ユークリッドによる証明(一番有名) 更に,同様な理由から $N_3=N_2(N_2+1)$ は異なる素因数を3個以上持つ。これを繰り返すといくらでも多くの異なる素因数を持つ数が生成できるので素数は無限に存在する。, ユークリッドの証明方法に勝るとも劣らない簡潔な証明です。この方法が21世紀になってから発見されたというのも驚きです。, 余談1:フェルマー数を用いた証明もなかなかエレガントです。→フェルマー数とその性質, 余談2:「素数が無限に存在する」よりも強い主張である「ディリクレの算術級数定理」というものがあります:, $a$ と $b$ が互いに素な自然数のとき $an+b$ ($n$ は自然数)の形で表せる素数は無限に存在する。, Tag: 無限和,無限積の美しい公式まとめ 素因数分解の一意性より,$\displaystyle\prod_{i=1}^n\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{p_i^k}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}\cdots(※)$ これは有限値なので,有限=無限となり矛盾。, $※$はオイラー積表示と呼ばれる,非常に美しい等式です。「全ての素数の組み合わせの積」と「全ての自然数」が一対一対応していることを表しています。オイラー積表示の左辺を具体的に書き下してみるとイメージが分かりやすいでしょう。 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ が素数ならば $p=p_1p_2\cdots p_n+1$ も素数である 双子素数が無限個存在するコトの証明. 2.オイラーによる証明(オススメ) 5. これによって、補題2より双子素数は無限個存在するコトが導かれる. が正しいかどうかは未解決というわけです。, ところが,上の予想を弱めた以下の主張2は正しいことが証明されています! 双子素数とは、連続した奇数がどちらも素数になるペアのこと 素数が無限に存在することは紀元前に証明されているが、双子素数が無限に存在することは証明できていない 新たな研究は多項式を使い、グラフ形状を比較することで双子素数が無限に存在することの証明に成功した 双子素数 双子素数. 双子素数が無限個あるか,有限個しかないのかは未解決問題です。 つまり,n 番目の素数を pn と書くと, 主張1:pn+1−pn=2 となる n が無限個ある が正しいかどうかは未解決というわけです。 ところが,上の予想を弱めた以下の主張2は正しいことが証明されています! 主張2:pn+1−pn≤600 となる nが無限個ある 主張1が正しい→主張2が正しい,は成立しますが逆はダメです。 なお,主張2は以下のように表現することもできます: lim infn→∞(pn+1−pn)<600 (任意の整数 N に対してある n>N が存在して,pn…
この等式の右辺は無限大となる。→調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 主張2:$p_{n+1}-p_{n}\leq 600$ となる $n$ が無限個ある. © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. ■素数が無限に存在することは紀元前に証明されているが、双子素数が無限に存在することは証明できていない, ■新たな研究は多項式を使い、グラフ形状を比較することで双子素数が無限に存在することの証明に成功した, 一般の私たちにとっては、落ち着きたいときに数えるくらいしか役に立たない素数ですが、数学者たちはこの素数の性質に長年魅了され続けています。, 素数の難問として有名なのは、数学ミレニアム問題の1つ「リーマン予想」です。これが解決されれば素数の出現位置を予測できるようになると言われています。, 逆に言えば、現在素数はどこでどういうタイミングで出現するのか法則が見つかっていないのです。, 今回発表された研究は、こうした素数にまつわる問題の1つ「双子素数の予想」を限定的に証明したというものです。, 双子素数とは、ある偶数を挟んで並んで存在する素数のペアのことで、こうしたペアはたくさん発見されています。数学者たちの予想では、この双子素数はおそらく無限に存在するだろうと考えられていますが、それはまだ証明されていません。, 今回の研究者たちは、この問題を整数を使わずに多項式の形にした場合、グラフ形状を比較解析することで証明が可能だと発表しています。, この論文は米国コロンビア大学とウィスコンシン大学の二人の数学者によって発表され、現在はコーネル大学arXivで公開されています。, 素数とは「1と自分自身以外では割り切れない数字」です。「1はそもそも割ってないだろ」と言えるので、簡単に言えば割り算で絶対割り切れない数字です。, すべての数字は素数の合成で作り出すことができます。これは数を物質と考えた場合、素数は数の原子にあたる存在と考えることができます。, 素数は現在のところ、どういった法則で並んでいるのか明らかになっていません。そのため素数を見つけても、その次の素数がいつ現れるかは分からないのです。大きい数になってくると何百何千と数を進めていっても一向に次の素数が出てこない砂漠地帯も存在します。, そんな中で特異な存在が双子素数です。双子素数は偶数を挟んで並ぶペアの素数のことです。「3と5」、「5と7」「11と13」などがその例です。, 素数自体が無限に存在することは、紀元前にエウクレイデスによって既に証明されています。, この証明を簡単に説明すると「素数が有限と考えた場合、判明した全ての素数をかけ合わせて作る数字は、そこに1を足したとき既知の素数のいずれで割っても1余る新しい素数になってしまう。つまり素数は有限ではない」という理屈です。, ちなみに現在発見されている最大の双子素数は「2996863034895 × 21290000 ± 1 」だそうです。, 今回発表された論文で研究者たちは、問題を解くために整数の代わりに有限体という、数を限定した多項式を使って証明を行いました。, 有限体は簡単に言えば時計を使った時間の計算のようなものです。時計は12以上の数がありません。例えば時間は3時から3時間経った場合「3+4」は7時ですが、9時から4時間経った場合「9+4」の答えは1時です。, 有限体はぐっと計算をやりやすくします。コンピュータにとっては特にありがたい話になります。, こうした計算範囲を限定した有限体を使った多項式を作り、それを検証して証明を行ったのが今回の研究です。, 中学校で教わったことですが、多項式は素因数分解というわり算のようなことができます。例えば「x2−1」は「x+1」と「x−1」に素因数分解できるので、素数ではないという感じです。, 「なんでわざわざ多項式で考えるの?」と疑問が浮かびますが、それは多項式を使って考えた場合、それをグラフとして形で表現できるからです。, この場合幾何学的な手法によってグラフの形状を解析することで、整数では導き出せないような素数の性質について証明できるのです。, 整数と多項式には類似した性質があることがわかっています。多項式で確認できる性質は、整数にも存在していると言えるのです。, こうしたちょっと複雑な数学のテクニックを組み合わせて用いることで、双子素数の予想の特殊なバージョンの証明に成功したというわけです。, ただ残念ながら、今回の証明は幾何学に依存していて基礎となる数学があまりに違うため、本来の双子素数の予想には使えないとのこと。, 「じゃあ何の意味があったの?」と思ってしまいますが、大きな証明を行うために小さな証明を積み重ねていくことは数学の基本的な手法です。フェルマーの最終定理のような難問も、こうした無関係に思える証明の積み重ねで解決したと言われています。, これは高く険しい山の頂の景色を眺めるために、近くのもっと小さい別の山を登ってそのルートを確認していることに等しいと言われています。本来登りたい山の頂は雲に隠れて見えませんが、いきなり険しい山に登って遭難するより、簡単な山の制覇を積み重ねてから挑むほうが、良い結果を生むことにつながるでしょう。, 今回の研究者である、Shusterman氏とSawin氏は、今回の証明で学んだことを生かして今後も双子素数問題に取り組みたいと語っています。, 数学者の場合、素数を数え始めると、その出現法則が気になって逆に気分が落ち着かなくなるのかもしれません。, On the Chowla and twin primes conjectures over ?q[T], 「微分積分法」を発見した学者が実は二人いた? “リンゴで有名な物理学者”ともう一人は…, ノーベル賞受賞者の”基本に立ち返る考え方”とは?数学のテストが苦手だった少年が「ブラックホールを証明する」科学者になれる, 野鳥の分布にキリンのシマ模様と同じ法則が見つかる!数学者が見つけた自然界の掟「チューリングパターン」とは?, ウイルスには外に出たがるアウトドア派と引きこもるインドア派がいた。数学から導かれた繁栄戦略, 「冬に病気になりやすい理由」が示される。 ヒトの免疫系に季節のリズムがあったから?, 3種類も新種のペンギンが誕生! 科学者が1種類だと思っていたものが実は別々のペンギンだった, 人間を襲ったハンセン病が「チンパンジー」にも感染、 人間の感染では見られない珍しい遺伝子型の菌, 新型コロナ終息後、「マスクの副作用」により他の病気のパンデミックが起こる可能性あり。. Tag: 素数にまつわる覚えておくべき性質まとめ. なお,主張2は以下のように表現することもできます: 「$p,p+2,p+4$ がいずれも素数である」という状況は $p=3$ の場合のみです($p,p+2,p+4$ を $3$ で割った余りは異なるのでどれか一つが $3$ の倍数になる,$3$ の倍数で素数なのは $3$ だけ)。, そこで,$(p,p+2,p+6)$ 型か$(p,p+4,p+6)$ 型の素数の組を三つ子素数と言います。例えば$(41,43,47),(67,71,73)$ などです。, さらに,$(p,p+2,p+6,p+8)$ 型を四つ子素数と言います。$(11,13,17,19)$ などです。.

主張1:$p_{n+1}-p_{n}=2$ となる $n$ が無限個ある (任意の整数 $N$ に対してある $n > N$ が存在して,$p_{n+1}-p_{n}$ は $600$ 以下となる), ちなみに,この $600$ というギャップは現在 $246$ まで縮められているようです(→Bounded gaps between primes)。, 以下の主張3が成立することも証明されています。

素数が無限にあることの初等的な証明を応用して: n Π p_k + 1 k=1 と n Π p_k - 1 k=1 は素数であることが確認される。このような形の双子素数は無限にある。 証明が短すぎて、論文に書く気にならなかったので、ここに記す。 主張2:$p_{n+1}-p_{n}\leq 600$ となる $n$ が無限個ある, 主張1が正しい→主張2が正しい,は成立しますが逆はダメです。 主張3:双子素数の逆数和は収束する, つまり,$\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}\right)+\cdots$ が収束するというわけです。この収束先の値はブルン定数と呼ばれます(だいたい $1.9$ くらい)。, 素数の逆数和は発散する(→素数の逆数和が発散することの証明)ことと合わせると双子素数は素数よりずっと少ないと言うことができます。, ちなみに,もし主張3が嘘だったら(双子素数の逆数和が発散するなら)双子素数が無限にあることが分かるので主張1が正しいことも分かりバンザイでした。しかし,双子素数の逆数和が収束したからといって,双子素数が有限個しかないとは限りません(無限個の和が収束することもある)。, 双子素数と同様に三つ子素数も定義したくなりますが $(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots)$ $\times(1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots)$ $\times(1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}\cdots)\cdots$, 次々と新しい素因数を作り出していく操作が無限回繰り返せることを示します。 $n$ と $n+1$ は互いに素という重要な性質を用います。, $N_1$ を2以上の整数とする。 $N_1$ と $N_1+1$ は互いに素なので $N_2=N_1(N_1+1)$ は異なる素因数を2個以上持つ。 【数学】双子素数が無限に存在するか問題 ついに解決 ... ペアの間隔が200だかある双子素数は無限にある事が証明されてる それだけでも大騒ぎだったのにいきなり間隔が1しかない真双子素数が証明される …
ここで,$p=p_1p_2\cdots p_n+1$ という数を考えると,$p$ はどの $p_i$ でも割り切れない(つまり,どの素数でも割り切れない)ので素数となる(※)。しかし,$p$ はどの $p_i$ よりも大きく,素数全体の集合に入っていないので矛盾。, ※の補足:上記の証明では, 「素数が無限にあることの証明」を知りたいですか?本記事では、素数が無限にあることの5通りの美しい証明(ユークリッド・ゴールドバッハ・オイラー2つ・サイダック)をわかりやすく解説します。本記事を読んで、素数や背理法に詳しくなろう! ※の補足:上記の証明では, p1,p2,⋯,pn が素数ならば p=p1p2⋯pn+1 も素数である という主張をしているわけではありません。実際,この主張は正しくありません。「素数が有限個しかない」という(偽である)仮定のもとで導かれる主張です。 $\displaystyle\prod_{i=1}^n\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{p_i^k}=\prod_{i=1}^n\dfrac{p_i}{p_i-1}$ 差が2である二つの素数の組を双子素数と呼ぶそうです。素数は無限に存在しますが、双子素数も無限に存在することが最近になってようやく証明されたそうです。ちなみに差が2と2である三つの素数の組を三つ子素数と呼びますが、三つ子素数は3,5,7しか存在しません。 $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) < 600$ Copyright © 2017-2020 kusuguru Inc. All Rights Reserved. 双子素数を有限個と仮定すると、任意のnに対してMa(n)≦b(n)なる実数Mの存在が導かれるコトを示す.