赤玉 $3$ 個と白玉 $5$ 個が入った袋から、玉を $1$ 個ずつ $3$ 個取り出す。このとき、取り出した玉がすべて白玉である確率を求めなさい。ただし、 取り出した玉は元に戻さない ものとする。 「 1回目が赤玉、かつ、2回目が黄玉となる確率は、(3/5)×(2/4)= 3/10, (ⅱ)1回目が黄玉のとき 問題. 赤玉、青玉、白玉がそれぞれ2個ずつ入った袋から、同時に2個の玉を取り出す時、次の確率を求めなさい。(1)1個が赤玉、1個が白玉が出る確率( 2 )2個とも異なる色がてる確率( 3 )2個とも同じ色が出る確率数学の問題です。分からないので 1回玉を取り出したとき、ある色の玉がでる確率は、 ... 中2数学 2015.11.28 ... 赤玉2個、青玉3個が入っている袋から、たまを1個取り出し、それをもとに戻さないで、続けてもう1個取り出す時、次の確率 … 条件付き確率の公式を使う問題の見分け方は説明してありますので、ここでは公式を使った実際の問題を解いてみましょう。 公式を使わずに答を出す計算方法もあるので説明しておきます。 公式を使っていなくても答はおなじですし、簡単だ … Try IT(トライイット)のもとに戻さないくじの確率2(くじの公平性)の練習の映像授業ページです。Try IT(トライイット)は、実力派講師陣による永久0円の映像授業サービスです。更に、スマホを振る(トライイットする)ことにより「わからない」をなくすことが出来ます。 Aが当たる確率は、10本中2本を引く確率だから、2/10。 このとき、2回目が黄玉となる確率は、4個中の1個からひとつを引く確率だから、1/4 よって本記事では、条件付き確率の公式の意味から、条件付き確率の問題 $4$ 選の解き方まで, さて、(1)の確率はふつうに $\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ となりますが、(2)の確率はどうでしょう。, 全事象が $A=\{2,4,6\}$ に変化し、それによって問われている事象が $A\cap B=\{4,6\}$ に変化していることがおわかりでしょうか。, よって、(2)の確率は、$\displaystyle \frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{2}{3}$ となります。, 今は要素の個数 $n(A)$ の式を使って解きましたが、分母と分子を $n(U)$ で割ってあげても値は変わらないので、, これから問題を解いていくことで実感しますが、条件付き確率を直接求める問題はあまり出題されません。, 最初は合計 $8$ 個玉があるが、$2$ 回目では $7$ 個、$3$ 回目では $6$ 個に減っていくことが予想できる。, よって乗法定理より、求める確率は $\displaystyle\frac{5}{8}×\frac{4}{7}×\frac{3}{6}=\frac{5}{28}$ である。, 事象 $A$,$B$,$C$ を$$A:1回目で白玉を引く事象$$$$B:2回目で白玉を引く事象$$$$C:3回目で白玉を引く事象$$, と定義することで、$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P_A(B)P_{A\cap B}(C)$$として乗法定理を使っています。, このように、事象が $3$ つ以上の場合であっても、乗法定理は問題なく成り立ちます。, 「引いたくじは元に戻さない」ということなので、どうやら条件付き確率の問題っぽいですね。, 残り $9$ 本中、当たりは $2$ 本だから、$\displaystyle P_A(B)=\frac{2}{9}$ である。, 残り $9$ 本中、当たりは $3$ 本だから、$\displaystyle P_{\overline{A}}(B)=\frac{3}{9}$ である。, したがって、ⅰ)ⅱ)の事象は互いに排反なので、求める確率は $\displaystyle \frac{6+21}{90}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}$ である。, 「排反って何?」という方は、先に「排反と独立の違いとは?【ヒント:試行と事象】」の記事から読み進めることをオススメします。, ⅰ)ⅱ)それぞれに乗法定理を使ってあげることで、結果Bさんが当たる確率も $\displaystyle \frac{3}{10}$ になりましたね!, ただ、テストでいきなり「平等だから $\displaystyle \frac{3}{10}$ 」と書くと、間違いなく減点を食らいますので、あくまで検算用として覚えておくといいかと思いますよ^^, こういうときに大切なのは、焦らず落ち着いて「まずは事象を定義してみる」ことだったりします。, の $2$ 通りが考えられ、それぞれの事象は互いに排反であるので、$P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)$ と表すことができる。, ここで、条件付き確率の公式より、$$P_E(A)=\frac{P(E\cap A)}{P(E)}$$, したがって、求める確率は $\displaystyle P_E(A)=\frac{2}{500}÷\frac{2}{125}=\frac{2}{500}×\frac{125}{2}=\frac{1}{4}$ である。, このように、結果が条件づけられている確率のことを“原因の確率”と呼び、本来であれば「ベイズの定理」と呼ばれる式を使って求めます。, 実は、(1)(2)で計算したことを合わせると、そっくりそのままベイズの定理になるのですが…これ以上は発展のお話ですね。, ぜひ、興味のある方は「ベイズの定理とは?【例題2選を使ってわかりやすく解説します】」の記事をご覧くださいませ~。, 時間に逆行する原因の確率(ベイズの定理)もあわせて勉強しておくと、より深い学びになると思います。, ウチダショウマ。数学が大好きな25歳男性。東北大学理学部数学科卒業→教員採用試験1発合格→高校教師になるも、働き方に疑問を感じわずか1年で退職。現在は塾講師をしながら、趣味ブロガーとして活動中。楽しい。, 確認画面は表示されません。上記内容にて送信しますので、よろしければチェックを入れてください。, 公式①の両辺に $P(A)$ をかければ、すぐに定理②を導くことができるね。それじゃ、なんで①と②には別々の名前が付けられているんだろうね。, \begin{align}\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{\frac{n(A\cap B)}{n(U)}}{\frac{n(A)}{n(U)}}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\end{align}, これで条件付き確率の公式 $\displaystyle P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ がなぜ成り立つのかがわかりましたね!一つ補足として、$P_A(B)$ を $P(B|A)$ と表記する場合もあります。頭の奥底に入れておきましょう。, つまり乗法定理 $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ より、条件付き確率 $P_A(B)$ を用いて $P(A\cap B)$ を求めることが重要になってきます。, 問題. 袋の中に、それぞれ色の異なる赤、青、黄、白、黒の5色の玉が2つずつ (計10個)入っている。この袋の中から、玉を4個を取り出すとき、2色とも そろっている確率は、次のうちどれか。 (ただし、取り出した玉は戻さないものとする。 会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約及びプライバシーポリシーに同意したものとみなします。ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくはこちらをご覧ください。, くじを 後に引く Bについて当たる確率を求めよう。もとに戻さないときでも、当たる確率は 公平 だったよね。, このポイントを使えば、一瞬で答えは求められる。 Bさんが当たる確率は、当然Aさんが当たる確率と同じになる わけだから、2/10=1/5だね!, ここではBより先にAがくじを引いて、そのくじを もとに戻さない んだよね。Aの結果次第で状況が変わるから、場合分けをするよ。, (ⅰ)Aが当たりを引くとき 1回目が黄玉、かつ、2回目が黄玉となる確率は、(2/5)×(1/4)= 1/10, (ⅰ)と(ⅱ)を たし算 すると、 赤玉 $3$ 個と白玉 $5$ 個が入った袋から、玉を $1$ 個ずつ $3$ 個取り出す。このとき、取り出した玉がすべて白玉である確率を求めなさい。ただし、, 問題. Aが外れて、かつ、Bが当たる確率は、(8/10)×(2/9)= 8/45, Bが当たる確率は「(ⅰ) または (ⅱ)」の確率だから、 たし算 をすると、(1/45)+(8/45)=9/45= 1/5, ここで、最初に求めたAの当たる確率と比べてみよう。そう、AもBも、 当たる確率は等しくなっている よね。, 会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくはこちらをご覧ください。. ある部品を製造する機械A,Bがあり、それぞれの不良品の発生する割合は、Aでは $1$ %、Bでは $2$ %である。Aで作った部品とBで作った部品が $2:3$ の割合で大量に混ざっている中から $1$ 個を取り出すとき、以下の問いに答えよ。, 今までの問題でも事象を定義してきましたね。これは乗法定理の説明のためでもありましたが、すべてはこの問題を解くためでもあったのです!, \begin{align}P(A)=\frac{2}{5} \ , \ P(B)=\frac{3}{5} \ , \ P_A(E)=\frac{1}{100} \ , \ P_B(E)=\frac{2}{100}\end{align}, \begin{align}P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)\\&=P(A)×P_A(E)+P(B)×P_B(E)\\&=\frac{2}{5}×\frac{1}{100}+\frac{3}{5}×\frac{2}{100}\\&=\frac{2+6}{500}\\&=\frac{2}{125}\end{align}, 今までは「原因→結果」だったのに対し、(2)では「結果→原因」の順で求めていませんか?つまり、”, 「確率」の総まとめ記事です。確率とは何か、その基本的な求め方に触れた後、確率の解説記事全12個をまとめています。「確率をしっかりマスターしたい」「確率を自分のものにしたい」方は必見です!!, 条件付き確率 $P_A(B)$ の公式$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} …①$$, $\displaystyle P(E\cap A)=P(A\cap E)=\frac{2}{500}$. 赤玉6個、黒玉4個、白玉5個が入っている袋の中から、一個の玉を取出し、色を確認してから袋の中へ戻すという試行を考える。こういう試行を3回行ったとき、2個の玉だけが同じ色となる確率を求めよ。やっと、今回最後の問題にたどり着くこ やはり、確率は2/5で、常に等しくなっていることが分かるね。, 会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくはこちらをご覧ください。. (1/10)+(3/10)=4/10=2/5 Copyright Trygroup Inc. All Rights Reserved. このとき、2回目が黄玉となる確率は、4個中の2個からひとつを引く確率だから、2/4 会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約及びプライバシーポリシーに同意したものとみなします。ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくはこちらをご覧ください。, 2回目に取り出した玉が黄玉 になる確率を求めよう。「黄玉を当たりくじと考える」と、 くじの公平性の発想が使える よ。, つまり、 2回目に取り出した玉が黄色の玉になる確率は、当然1回目に黄玉を取り出す確率と同じになる わけだから、2/5だね!一瞬で答えは求められる。, 「くじの公平性」 について、実際に計算して確認してみよう。1回目の結果次第で状況が変わるから、場合分けをするよ。, (ⅰ)1回目が赤玉のとき Copyright Trygroup Inc. All Rights Reserved. ~くじを戻さない~ 当たりくじを3本含む10本のくじがある。このくじをa、bの2人が順に1本ずつ引く。ただし、引いたくじは 元に戻さない ものとする。 (1)aが当たる確率 (2)a、bともに当たる確率 (3)bが当たる確率 Try IT(トライイット)のもとに戻さないくじの確率2(くじの公平性)の例題の映像授業ページです。Try IT(トライイット)は、実力派講師陣による永久0円の映像授業サービスです。更に、スマホを振る(トライイットする)ことにより「わからない」をなくすことが出来ます。 Aが当たり、かつ、Bが当たる確率は、(2/10)×(1/9)= 1/45, (ⅱ)Aがハズレを引くとき 1回目が黄玉の確率は、5個中の2個からひとつを引く確率だから2/5。 1回目が赤玉の確率は、5個中の3個からひとつを引く確率だから3/5。 このとき、Bが当たる確率は、9本中1本を引く確率だから、1/9 当たりくじ $3$ 本を含む $10$ 本のくじを、A,Bの $2$ 人がこの順に $1$ 本ずつ引く。ただし、, \begin{align}P(A\cap B)&=P(A)×P_A(B)\\&=\frac{3}{10}×\frac{2}{9}\\&=\frac{6}{90}\end{align}, \begin{align}P(\overline{A}\cap B)&=P(\overline{A})×P_{\overline{A}}(B)\\&=\frac{7}{10}×\frac{3}{9}\\&=\frac{21}{90}\end{align}, 問題. Aがハズレを引く確率は、10本中8本を引く確率だから、8/10。 このとき、Bが当たる確率は、9本中2本を引く確率だから、2/9